Utiliser et déterminer une relation de récurrence

1. Déterminer les six premiers termes de la suite géométrique définie par `u_0=5` et telle que pour tout entier naturel `n` , \(u_{n+1}=\dfrac{2}{5}u_n\) .

2. Déterminer l'expression du terme général des suites géométriques définies par les relations de récurrence suivantes.

    a. \(u_{n+1}=0{,}4u_n\)  et `u_0=5` .

    b.  `u_{n+1}=5u_n`  et `u_0=2` .

    c.  `u_{n+1}=7u_n`  et `u_4=5` .

Solution

1. `u_0=5`

`u_{1}=\frac{2}{5}u_0=2`

`u_{2}=\frac{2}{5}u_1=\frac{4}{5}`

`u_{3}=\frac{2}{5}u_2=\frac{8}{5^2}=\frac{8}{25}`

`u_{4}=\frac{2}{5}u_3=\frac{16}{5^3}=\frac{16}{125}`

`u_{5}=\frac{2}{5}u_4=\frac{32}{5^4}=\frac{32}{625}`

2. a. \(u_{n}=5\times 0{,}4^n\)

    b.  `u_{n}=2\times 5^n`

    c.   \(u_{n+1}=5\times 7^{n-4}=\dfrac{5}{7^4} 7^n=\dfrac{5}{2401} 7^n\)